Sujet de Thèse
Titre :
Observation et commande d'une classe d'équations aux dérivées partielles couplées. Application à l'équation de Vlasov-Poisson
Dates :
2019/01/28 - 2022/01/28
Encadrant(s) :
Description :
Ce sujet de recherche, porte sur l'observation et la commande d'une classe d'Equations aux Dérivées Partielles (EDP) discrétisées en dimension un puis
deux. Une des motivations principales concerne l'application de ces approches à l'équation de Vlasov-Poisson. Cette dernière décrit l'évolution de la
fonction de distribution de particules chargées dans un plasma de fusion.
L'estimation spatio-temporelle de la fonction de distribution représente donc une étape importante pour analyser, faire de la supervision ou contrôler la
fusion. La majeure partie des travaux dans la littérature sur les équations de Vlasov-Poisson concerne l'analyse et la discrétisation de ces équations, mais
très peu de résultats existent sur le contrôle [1]-[2]-[3] et encore moins, pour ne pas dire pas du tout, sur l'observation. C'est un point dur car il existe très
peu d'outils mathématiques en dimension infinie pour faire de l'observation et encore moins lorsque plusieurs EDP sont couplées et non linéaires. Une
solution alternative consiste à utiliser des estimateurs et contrôleurs non linéaires en dimension finie sur un modèle discrétisé de l'équation de Vlasov-
Poisson. Cette approche ne peut être performante que si le modèle approché converge vers la solution réelle lorsque le pas de discrétisation converge vers
zéro.
Cette stratégie a été utilisée récemment pour résoudre le problème de l'observation et de la commande dans les transferts énergétiques par conduction et
rayonnement (EDP fortement couplées), et a donné des résultats très prometteurs [4][5]. Cependant, nous sommes confrontés à faire l'estimation spatio-
temporelle et la commande d'un système de très grande dimension dont l'état peut atteindre plusieurs milliers de points. Il est utile de souligner que la
simulation de tels systèmes peut durer plusieurs jours, voire même quelques semaines, sur un seul processeur. Les défis à relever lors de ce travail de
recherche peuvent être résumés comme suit :
A - Développer un observateur du système approché en dimension finie et déduire les conditions de convergence.
B - Développer des lois de commande en dimension finie et déduire les conditions de convergence. Faire une extension de ces résultats pour établir des lois
de commande basées observateurs.
C - Le dernier point concerne le développement et la mise en oeuvre d'un code de simulation. Il s'agit d'évaluer les performances de l'estimateur/contrôleur
obtenu en termes de temps de calcul, précision et robustesse par rapport aux erreurs de modélisation.
Références:
1 - Coron, J.-M., Glass, O., and Wang, Z. Exact boundary controllability for 1-d quasilinear hyperbolic systems with a vanishing characteristic speed. SIAM
Journal on Control and Optimization 48, 5 (2009), 3105-3122.
2 - Glass, O., and Han-Kwan, D. On the controllability of the vlasov-poisson system in the presence of external force fields. Journal of Differential
Equations 252, 10 (2012), 5453-5491.
3 - Glass, O., and Han-Kwan, D. On the controllability of the relativistic vlasov-maxwell system. Journal de Mathématiques Pures et Appliquées 103, 3
(2015), 695-740.
4 - Ghattassi M., Boutayeb, M., « Non linear controller design for a class of parabolic-hyperbolic systems », Journal of Non Linear Systems and
Applications,Vol. 5, pp. 15-20, 2016.
5 - Ghattassi M., Boutayeb M. & Roche J. R.. Reduced order observer of finite dimensional radiative-conductive heat transfer systems. SIAM J. on Cont.
and Optimization, 56 (4), pp.2485-2512, 2018.
deux. Une des motivations principales concerne l'application de ces approches à l'équation de Vlasov-Poisson. Cette dernière décrit l'évolution de la
fonction de distribution de particules chargées dans un plasma de fusion.
L'estimation spatio-temporelle de la fonction de distribution représente donc une étape importante pour analyser, faire de la supervision ou contrôler la
fusion. La majeure partie des travaux dans la littérature sur les équations de Vlasov-Poisson concerne l'analyse et la discrétisation de ces équations, mais
très peu de résultats existent sur le contrôle [1]-[2]-[3] et encore moins, pour ne pas dire pas du tout, sur l'observation. C'est un point dur car il existe très
peu d'outils mathématiques en dimension infinie pour faire de l'observation et encore moins lorsque plusieurs EDP sont couplées et non linéaires. Une
solution alternative consiste à utiliser des estimateurs et contrôleurs non linéaires en dimension finie sur un modèle discrétisé de l'équation de Vlasov-
Poisson. Cette approche ne peut être performante que si le modèle approché converge vers la solution réelle lorsque le pas de discrétisation converge vers
zéro.
Cette stratégie a été utilisée récemment pour résoudre le problème de l'observation et de la commande dans les transferts énergétiques par conduction et
rayonnement (EDP fortement couplées), et a donné des résultats très prometteurs [4][5]. Cependant, nous sommes confrontés à faire l'estimation spatio-
temporelle et la commande d'un système de très grande dimension dont l'état peut atteindre plusieurs milliers de points. Il est utile de souligner que la
simulation de tels systèmes peut durer plusieurs jours, voire même quelques semaines, sur un seul processeur. Les défis à relever lors de ce travail de
recherche peuvent être résumés comme suit :
A - Développer un observateur du système approché en dimension finie et déduire les conditions de convergence.
B - Développer des lois de commande en dimension finie et déduire les conditions de convergence. Faire une extension de ces résultats pour établir des lois
de commande basées observateurs.
C - Le dernier point concerne le développement et la mise en oeuvre d'un code de simulation. Il s'agit d'évaluer les performances de l'estimateur/contrôleur
obtenu en termes de temps de calcul, précision et robustesse par rapport aux erreurs de modélisation.
Références:
1 - Coron, J.-M., Glass, O., and Wang, Z. Exact boundary controllability for 1-d quasilinear hyperbolic systems with a vanishing characteristic speed. SIAM
Journal on Control and Optimization 48, 5 (2009), 3105-3122.
2 - Glass, O., and Han-Kwan, D. On the controllability of the vlasov-poisson system in the presence of external force fields. Journal of Differential
Equations 252, 10 (2012), 5453-5491.
3 - Glass, O., and Han-Kwan, D. On the controllability of the relativistic vlasov-maxwell system. Journal de Mathématiques Pures et Appliquées 103, 3
(2015), 695-740.
4 - Ghattassi M., Boutayeb, M., « Non linear controller design for a class of parabolic-hyperbolic systems », Journal of Non Linear Systems and
Applications,Vol. 5, pp. 15-20, 2016.
5 - Ghattassi M., Boutayeb M. & Roche J. R.. Reduced order observer of finite dimensional radiative-conductive heat transfer systems. SIAM J. on Cont.
and Optimization, 56 (4), pp.2485-2512, 2018.
Mots clés :
Système d'EDP - Observateur et commande Non Linéaire - Vlasov Poisson
Département(s) :
| Contrôle Identification Diagnostic |
Financement :
Bourse du SENEGAL
