Sujet de Thèse
Titre :
Stabilisation et contrôlabilité du problème de Stefan
Dates :
2021/09/14 - 2024/09/30
Etudiant :
Encadrant(s) :
Autre(s) encadrant(s) :
TAKAHASHI Takéo (takeo.takahashi@inria.fr)
Description :
- Problématique générale, Contexte
En dimension un, la fusion ou solidification d'un solide peut-être représentée par un problème de Stefan. Pour une présentation plus générale du problème de Stefan, on pourra se référer à [4, 9, 10, 7]. Plus précisément, supposons que l'intervalle (0,1) corresponde au domaine occupé par les phases liquide et solide. On supposera aussi que les deux phases sont connexes, ainsi on note s(t) le point de (0,1) représentant la position de l'interface liquide-solide. On supposera aussi que la phase liquide occupe l'intervalle (0,s(t)) et que la phase solide, l'intervalle (s(t),1).
Notons y_l la température dans la phase liquide et y_s celle dans la phase solide et supposons que la température de fusion soit nulle.
Les températures dans les deux phases sont régies par l'équation de la chaleur. À l'interface liquide-solide, la température est égale à la température de fusion, c.-à-d. y_l(t,s(t))=y_s(t,s(t))=0. La vitesse de déplacement de la position de l'interface liquide-solide est proportionnelle au saut de la dérivée normale de la température en x=s(t).
Enfin afin d'éviter l'apparition de nouvelle phases dans le domaine, on imposera que la solution satisfasse, c.-à-d. y_l (respectivement y_s) reste négative (respectivement positive).
Enfin, il sera possible d'agir sur l'état du système à l'aide de contrôles. À titre d'exemple, on pourra se donner deux contrôles frontières (en x=0 et x=1) de type Neumann.
Bien entendu, l'ensemble de ces équations est assujetti à des conditions initiales. Concernant le caractère bien posé de ce système, on pourra se référer à [2, 3].
- Objectifs de la thèse
Dans de récents travaux, [5, 6], la stabilisation vers des états stationnaires triviaux, c.-à-d. associés à des contrôles nuls, a été prouvée. Ce résultat a été obtenu à l'aide de la méthode de baskstepping, cf. [1]. Cependant, ce contrôle par retour d'état, nécessite la connaissance de tout l'état à tout instant. Cette contrainte n'est pas réalisable en pratique. Ceci conduit à une première question :
Q.1. Est-il possible de stabiliser le système vers un état stationnaire trivial, avec un contrôle dépendent seulement d'une mesure partielle de l'état?
Il est aussi naturel de s'intéresser à la stabilisation du système vers des états stationnaires non triviaux.
Q.2. Est-il possible de stabiliser le système vers un état stationnaire non trivial?
À cause du principe de comparaison pour l'équation de la chaleur, il est aisé de montrer que tout état stationnaire trivial ne peut être atteint en un temps fini.
Q.3. Est-il possible de contrôler le système vers un état stationnaire non trivial?
Dans [6], le contrôle construit permet d'assurer, les conditions de signe sur les températures dans les phases liquide et solide. Ceci permet d'omettre ces contraintes d'état. En revanche, celles-ci doivent être prises en comptes avec d'autres stratégies de contrôle. En particulier si l'état stationnaire est contrôlable, ces contraintes de positivité vont induire un temps minimal de contrôlabilité (cf. [8]).
Q.4. Si est un état stationnaire contrôlable peut-on donner une caractérisation du temps minimal de contrôlabilité et existe-t-il un contrôle en ce temps minimal?
Enfin, à notre connaissance, les seuls résultats de stabilisation portent sur le système de Stefan en unidimensionnels. Il est naturel de se demander si des résultats similaires existent en dimension supérieure. Dans ce cas une difficulté majeure est de correctement formaliser le problème de contrôle. En effet, en dimension trois (respectivement deux), l'interface solide-liquide est une surface (respectivement une courbe). Une façon simple d'aborder ce problème est de considérer des domaines liquide et solides à symétrie axiale. Ceci permet de revenir à un système unidimensionnel. Les questions précédentes se posent de nouveau avec l'opérateur de Laplace classique est remplacé par l'opérateur de Laplace cylindrique ou sphérique.
- Références
[1] D. M. Boković, A. Balogh et M. Krstić. Backstepping in infinite dimension for a class of parabolic distributed parameter systems. Math. Control Signals Systems, 16(1) :44-75, 2003.
[2] J. R. Cannon et M. Primicerio. A two phase Stefan problem with flux boundary conditions. Ann. Mat. Pura Appl. (4), 88 :193-205, 1971.
[3] J. R. Cannon et M. Primicerio. A two phase Stefan problem with temperature boundary conditions. Ann. Mat. Pura Appl. (4), 88 :177-191, 1971.
[4] S. C. Gupta. The classical Stefan problem. Elsevier, Amsterdam, 2018. Basic concepts, modelling and analysis with quasi-analytical solutions and methods.
[5] S. Koga, M. Diagne, S. Tang et M. Krstic. Backstepping control of the one-phase Stefan problem. In 2016 American Control Conference (ACC), pages 2548-2553, July 2016.
[6] S. Koga et M. Krstic. Single-boundary control of the two-phase Stefan system. Systems Control Lett., 135 :104573, 9, 2020.
[7] S. Koga et M. Krstic. Two-Phase Stefan Problem, pages 139-157. Springer International Publishing, Cham, 2020.
[8] J. Lohéac, E. Trélat et E. Zuazua. Minimal controllability time for the heat equation under unilateral state or control constraints. Math. Models Methods Appl. Sci., 27(9) :1587-1644, 2017.
[9] L. I. Rubentĕın. The Stefan problem. American Mathematical Society, Providence, R.I., 1971. Translated from the Russian by A. D. Solomon, Translations of Mathematical Monographs, Vol. 27.
[10] L. Rubinstein. The Stefan problem : comments on its present state. J. Inst. Math. Appl., 24(3) :259-277, 1979.
En dimension un, la fusion ou solidification d'un solide peut-être représentée par un problème de Stefan. Pour une présentation plus générale du problème de Stefan, on pourra se référer à [4, 9, 10, 7]. Plus précisément, supposons que l'intervalle (0,1) corresponde au domaine occupé par les phases liquide et solide. On supposera aussi que les deux phases sont connexes, ainsi on note s(t) le point de (0,1) représentant la position de l'interface liquide-solide. On supposera aussi que la phase liquide occupe l'intervalle (0,s(t)) et que la phase solide, l'intervalle (s(t),1).
Notons y_l la température dans la phase liquide et y_s celle dans la phase solide et supposons que la température de fusion soit nulle.
Les températures dans les deux phases sont régies par l'équation de la chaleur. À l'interface liquide-solide, la température est égale à la température de fusion, c.-à-d. y_l(t,s(t))=y_s(t,s(t))=0. La vitesse de déplacement de la position de l'interface liquide-solide est proportionnelle au saut de la dérivée normale de la température en x=s(t).
Enfin afin d'éviter l'apparition de nouvelle phases dans le domaine, on imposera que la solution satisfasse, c.-à-d. y_l (respectivement y_s) reste négative (respectivement positive).
Enfin, il sera possible d'agir sur l'état du système à l'aide de contrôles. À titre d'exemple, on pourra se donner deux contrôles frontières (en x=0 et x=1) de type Neumann.
Bien entendu, l'ensemble de ces équations est assujetti à des conditions initiales. Concernant le caractère bien posé de ce système, on pourra se référer à [2, 3].
- Objectifs de la thèse
Dans de récents travaux, [5, 6], la stabilisation vers des états stationnaires triviaux, c.-à-d. associés à des contrôles nuls, a été prouvée. Ce résultat a été obtenu à l'aide de la méthode de baskstepping, cf. [1]. Cependant, ce contrôle par retour d'état, nécessite la connaissance de tout l'état à tout instant. Cette contrainte n'est pas réalisable en pratique. Ceci conduit à une première question :
Q.1. Est-il possible de stabiliser le système vers un état stationnaire trivial, avec un contrôle dépendent seulement d'une mesure partielle de l'état?
Il est aussi naturel de s'intéresser à la stabilisation du système vers des états stationnaires non triviaux.
Q.2. Est-il possible de stabiliser le système vers un état stationnaire non trivial?
À cause du principe de comparaison pour l'équation de la chaleur, il est aisé de montrer que tout état stationnaire trivial ne peut être atteint en un temps fini.
Q.3. Est-il possible de contrôler le système vers un état stationnaire non trivial?
Dans [6], le contrôle construit permet d'assurer, les conditions de signe sur les températures dans les phases liquide et solide. Ceci permet d'omettre ces contraintes d'état. En revanche, celles-ci doivent être prises en comptes avec d'autres stratégies de contrôle. En particulier si l'état stationnaire est contrôlable, ces contraintes de positivité vont induire un temps minimal de contrôlabilité (cf. [8]).
Q.4. Si est un état stationnaire contrôlable peut-on donner une caractérisation du temps minimal de contrôlabilité et existe-t-il un contrôle en ce temps minimal?
Enfin, à notre connaissance, les seuls résultats de stabilisation portent sur le système de Stefan en unidimensionnels. Il est naturel de se demander si des résultats similaires existent en dimension supérieure. Dans ce cas une difficulté majeure est de correctement formaliser le problème de contrôle. En effet, en dimension trois (respectivement deux), l'interface solide-liquide est une surface (respectivement une courbe). Une façon simple d'aborder ce problème est de considérer des domaines liquide et solides à symétrie axiale. Ceci permet de revenir à un système unidimensionnel. Les questions précédentes se posent de nouveau avec l'opérateur de Laplace classique est remplacé par l'opérateur de Laplace cylindrique ou sphérique.
- Références
[1] D. M. Boković, A. Balogh et M. Krstić. Backstepping in infinite dimension for a class of parabolic distributed parameter systems. Math. Control Signals Systems, 16(1) :44-75, 2003.
[2] J. R. Cannon et M. Primicerio. A two phase Stefan problem with flux boundary conditions. Ann. Mat. Pura Appl. (4), 88 :193-205, 1971.
[3] J. R. Cannon et M. Primicerio. A two phase Stefan problem with temperature boundary conditions. Ann. Mat. Pura Appl. (4), 88 :177-191, 1971.
[4] S. C. Gupta. The classical Stefan problem. Elsevier, Amsterdam, 2018. Basic concepts, modelling and analysis with quasi-analytical solutions and methods.
[5] S. Koga, M. Diagne, S. Tang et M. Krstic. Backstepping control of the one-phase Stefan problem. In 2016 American Control Conference (ACC), pages 2548-2553, July 2016.
[6] S. Koga et M. Krstic. Single-boundary control of the two-phase Stefan system. Systems Control Lett., 135 :104573, 9, 2020.
[7] S. Koga et M. Krstic. Two-Phase Stefan Problem, pages 139-157. Springer International Publishing, Cham, 2020.
[8] J. Lohéac, E. Trélat et E. Zuazua. Minimal controllability time for the heat equation under unilateral state or control constraints. Math. Models Methods Appl. Sci., 27(9) :1587-1644, 2017.
[9] L. I. Rubentĕın. The Stefan problem. American Mathematical Society, Providence, R.I., 1971. Translated from the Russian by A. D. Solomon, Translations of Mathematical Monographs, Vol. 27.
[10] L. Rubinstein. The Stefan problem : comments on its present state. J. Inst. Math. Appl., 24(3) :259-277, 1979.
Mots clés :
Contrôle, Stabilisation, Équation de la chaleur, Problème de Stefan, État contraint
Département(s) :
| Contrôle Identification Diagnostic |
