Sujet de Thèse
Titre :
Commande parcimonieuse
Dates :
2023/10/01 - 2026/09/30
Encadrant(s) : 
Description :
** Problématique générale, Contexte

La recherche de solution sparse a connu un essor ces dernières décades, notamment pour le traitement d'images, cf. par exemple [12]. Plus récemment, des approches sparses ont été proposées pour la contrôlabilité de systèmes multi-agents, cf. par exemple [1,2,13]. Notons aussi, qu'en présence de contrainte unilatérale sur le contrôle, un contrôle en temps minimal est naturellement sparse, cf. par exemple [8]. Plus généralement, on pourra se référer à l'article [11].


Considérons le système linéaire de dimension finie,
(*) x'=Ax+Bu,
où u est le contrôle (ou l'entrée) et x l'état du système. On suppose que le système (*) est contrôlable, c'est-à-dire que pour tout temps T>0, tout état initial et tout état final, il existe un contrôle u tel que la solution de (*) soit égale à l'état final à l'instant T. Un tel contrôle peut par exemple être obtenu en minimisant sa norme, typiquement, la norme L². Une telle approche conduit à la méthode HUM (Hilbert Uniqueness Method), cf. [3].
En revanche, le support du contrôle obtenu est génériquement l'intervalle [0,T] entier.

L'objectif d'un contrôle sparse est de minimiser le temps d'action du contrôle.
Formellement, au lieu de minimiser la norme L² su contrôle, nous minimiserons sa norme L⁰, c'est-à-dire, la mesure de Lebesgue de son support.
Un résultat tiré de [6], assure que la contrôlabilité d'un système linéaire peut-être faite à l'aide d'un nombre fini de masses de Dirac. Ainsi, ce problème de minimisation n'admet pas de minimiseur dans L², mais peut en admettre un dans l'espace des mesures.

Un autre souci, dans ce problème de minimisation, est que la fonctionnelle, la norme L⁰ n'est pas convexe. Un problème convexe approchant, qui dans certains cas est équivalent au problème initial, cf. [4,7,11], consiste à remplacer la pseudo-norme L⁰ par la norme L¹. Comme précédemment, ce problème de minimisation n'admet en général pas de minimiseur dans L¹. En revanche, il admet un minimiseur dans l'ensemble de mesures de Radon.



** Objectifs de la thèse

L'objectif de cette thèse est de mieux comprendre la structure parcimonieuse de tels contrôles, d'étendre les résultats au cadre non linéaire, et de proposer des méthodes numériques efficaces conduisant à des contrôles sparses. Il conviendra donc de s'intéresser à:

-- l'extension au cadre non linéaire des résultats succinctement mentionnés au paragraphe précédent.
Pour ce faire, un modèle type sera le système de Heisenberg. Dans le cadre du non linéaire, il est aussi nécessaire de bien comprendre l'impact d'un contrôle impulsif. On se référera pour cela au travail effectué dans [10];

-- l'existence d'un saut de Lavrentiev.
Plus précisément, est-ce que l'infimum pour des contrôles L¹ est l'infimum pour des contrôles mesures? Pour cela, on pourra s'inspirer de [9];

-- la localisation du support du contrôle.
Plus précisément, le contrôle obtenu peut-il être exprimé comme un contrôle évènementiel (``event triggered control)''?

-- la construction de méthodes numériques conduisant à des contrôles sparses.
Pour cela, on pourra s'inspirer d'algorithmes basés sur la distance de Bregman, cf. [7,12], ou sur les reformulations proposées dans [5].

Cette liste de problèmes est bien entendu non exhaustive.
L'étudiant pourra par exemple aussi s'intéresser au problème de stabilisation avec des contrôles sparses.

** Références
[1] M. Caponigro, M. Fornasier, B. Piccoli, and E. Trélat. Sparse stabilization and optimal control of the Cucker-Smale model. Math. Control Relat. Fields, 3(4) :447466, 2013.
[2] M. Caponigro, M. Fornasier, B. Piccoli, and E. Trélat. Sparse stabilization and control of alignment models. Math. Models Methods Appl. Sci., 25(3) :521564, 2015.
[3] J.-M. Coron. Control and nonlinearity., volume 136 of Math. Surv. Monogr. Providence, RI : American Mathematical Society (AMS), 2007.
[4] T. Ikeda and K. Kashima. On sparse optimal control for general linear systems. IEEE Transactions on Automatic Control, 64(5) :20772083, 2019.
[5] C. Kanzow, A. Schwarz, and F. Weiÿ. The sparse(st) optimization problem : Reformulations, optimality, stationarity, and numerical results. Working paper or preprint, 2022.
[6] E. B. Lee and L. Markus. Foundations of optimal control theory. The SIAM Series in Applied Mathematics. New York-London-Sydney : John Wiley and Sons, Inc. xii, 576 p. (1967)., 1967.
[7] Y. Li and S. Osher. Coordinate descent optimization for `1 minimization with application to compressed sensing ; a greedy algorithm. Inverse Probl. Imaging, 3(3) :487503, 2009.
[8] J. Lohéac, E. Trélat, and E. Zuazua. Nonnegative control of nite-dimensional linear systems. Ann. Inst. Henri Poincaré, Anal. Non Linéaire, 38(2) :301346, 2021.
[9] M. Motta, M. Palladino, and F. Rampazzo. Unbounded control, inmum gaps, and higher order normality. SIAM J. Control Optim., 60(3) :14361462, 2022.
[10] M. Motta and C. Sartori. On L1 limit solutions in impulsive control. Discrete Contin. Dyn. Syst., Ser. S, 11(6) :12011218, 2018.
[11] M. Nagahara. Sparse control for continuous-time systems. International Journal of Robust and Nonlinear Control, n/a(n/a).
[12] S. Osher, M. Burger, D. Goldfarb, J. Xu, and W. Yin. An iterative regularization method for total variation-based image restoration. Multiscale Model. Simul., 4(2) :460489, 2005.
[13] B. Piccoli, N. P. Duteil, and E. Trélat. Sparse control to prevent black swan clustering in collective dynamics. In 2018 Annual American Control Conference (ACC), pages 955960, 2018.

Une description détaillée est diponible à l'adresse : https://mycore.core-cloud.net/index.php/s/wv8lRrA83m8ZLAh
Mots clés :
Contrôle optimal, contrôle impulsif, contrôle sparse
Conditions :
Lieu : Centre de Recherche en Automatique de Nancy
Début de la thèse : octobre 2023
Durée de la thèse : 3 ans
Employeur : Université de Lorraine
Profil : Master 2 de recherche ou équivalent est nécessaire pour se porter candidat sur cette offre de thèse.
Ce sujet de thèse requiert des compétences en automatique/mathématiques appliquées. En plus de maîtriser les connaissances de bases de l'automatique, un bagage en contrôle optimal et en calcul numérique sera souhaitable.
Département(s) : 
Contrôle Identification Diagnostic
Financement :
Demande en cours de contrat doctoral de l'Université de Lorraine